Notch & Comb Filters

I filtri comb sono caratterizzati da una risposta in frequenza essenzialmente piatta su tutto lo spettro fatta eccezione per un intorno, più o meno ampio, di una frequenza omega0. In questo punto, la risposta in frequenza presenta una forte variazione che dà luogo ad un picco o ad un minimo in funzione del quale si parla rispettivamente di notching comb filter o peaking comb filter. In generale, questo comportamento può essere esibito in corrispondenza di N frequenze omega_i.

Come caso elementare possiamo rifarci a quello di un 2^nd-order resonator la cui risposta in frequenza è dominata da un unico, stretto picco posto in omega0 e determinato dalla coppia di poli complessi coniugati:

p= R e ^jomega0

con 0 < R < 1.

La corrispondente funzione di trasferimento è pertanto:

La costante G può essere fissata imponendo il valore del guadagno ad una specifica frequenza.

La larghezza del picco a 3 dB viene definita come full width at half maximum e può essere determinata risolvendo l'equazione:

L'equazione precedente ha due soluzioni (3 dB frequencies) che cadono una a sinistra e l'altra a destra di omega0 e la cui differenza definisce la full width. Quando i poli sono prossimi al cerchio unitario, la full width è approssimativamente data da:

f.w.= 2(1-R)

Di conseguenza, tanto più R è prossimo all'unità quanto più netto è il picco in frequenza.

L'equazione alle differenze per il filtro segue dalle equazioni precedenti e in particolare, sussiste la relazione:

che può essere implementata con una struttura del tipo:

Una generalizzazione del resonator filter è quella che si ottiene introducendo una coppia di zeri vicino ai poli e nella stessa direzione ossia:

z = r e^jomega0

La funzione di trasferimento diventa:

Gli zeri danno un contributo in frequenza analogo a quello dei poli sebbene opposto in segno. Di conseguenza, quando r<R, i poli prevalgono dando luogo ad un picco in omega0 (boost), viceversa, alla medesima frequenza, si presenterà un minimo (cut).

Il fatto poi di avere le due coppie di poli e zeri estremamente vicine, fa si che per frequenze distanti da omega0 la risposta in frequenza rimanga essenzialmente piatta.

Un caso particolare è quello che si presenta per r=1. In questa situazione il valore della risposta in ampiezza è esattamente nullo in omega0 ,in corrispondenza del notch, e la funzione di trasferimento può essere riscritta come:

Il metodo precedente può essere generalizzato per costruire filtri con notches in corrispondenza di un arbitrario (finito) numero di frequenze. Il polinomio N(z) è definito come il polinomio i cui zeri si trovano sul cerchio unitario alle desiderate notch frequencies. Si ottiene pertanto la relazione generale:

In base alle caratteristiche appena descritte, è immediato comprendere come i peaking comb filters vengano tipicamente utilizzati per migliorare la qualità di segnali periodici immersi nel rumore, mentre i notching comb filters siano impiegati per l'eliminazione di interferenze periodiche.

I filtri comb sono impiegati, inoltre, ogni qualvolta un segnale diretto viene sovrapposto alle sue repliche ritardate, operazione fondamentale nella realizzazione della maggior parte degli effetti audio.

Generalizzando quanto detto per l'echo filter, possiamo pensare ad un segnale ottenuto dalla sovrapposizione di M repliche dello stesso:

La funzione di trasferimento può essere espressa come somma parziale M-esima della serie geometrica:

Come nel caso del processore d'eco, il filtro è un FIR comb a soli zeri che, in particolare, corrispondono a tutte le M+1 radici del denominatore, fatta eccezione per quella coincidente con lo zero del denominatore, cioè:

La risposta in ampiezza presenta dei picchi a frequenze per le quali k è multiplo di M+1 e dei minimi in tutti i restanti zeri del numeratore.

L'aggiunta di un numero infinito di riflessioni simula la natura riverberante di un ambiente chiuso e dà luogo ad un IIR comb filter:

cui corrisponde la funzione di trasferimento:

E' possibile riscrivere la relazione I/O in forma ricorsiva in modo da mettere in evidenza la natura IIR del filtro,cioè:

Una possibile realizzazione del filtro è quella mostrata nella figura seguente.

Il ritardo presente nella catena di retroazione fa in modo che un impulso unitario in ingresso venga riverberato in corrispondenza dei multipli di D come mostra il grafico della risposta impulsiva:

Questo semplice filtro comb ricorsivo, noto anche come plain reverberator, viene utilizzato come blocco costitutivo di più complessi reverb processor.

La funzione di trasferimento ha poli equispaziati sul cerchio di raggio rho, in corrispondenza dei quali la risposta in frequenza presenta picchi così come avviene per il FIR comb: